Berechnung des seismischen Erddrucks nach Mononobe-Okabe
Während eines Erdbebens erfährt die Stützmauer eine zusätzliche Kraft durch die Bodenbeschleunigung. Die pseudostatische Methode von Mononobe-Okabe (1926/1929) erweitert die Coulombsche Formulierung um horizontale (kh) und vertikale (kv) seismische Koeffizienten. Dieser Rechner liefert den seismischen aktiven Erddruckbeiwert Kae, den gesamten Erddruck Pae und den Zuwachs ΔPae = Pae − Pa gegenüber dem statischen Erddruck. Grundlage für die erdbebensichere Bemessung von Stützmauern nach DIN EN 1998-1 (Eurocode 8) und DIN 1054.
Was ist das und wann wird es angewendet?
Mononobe-Okabe ist die Standardmethode für die erdbebensichere Bemessung von Stützmauern in der Region. Sie gilt für konventionelle Stützmauern mit homogenem, körnigem Hinterfüllmaterial, bei denen während des Erdbebens eine Verschiebung zulässig ist (Schwerkraft- und Kragmauern). Für eingespannte Wände (unterirdische, an die Struktur angeschlossene Wände) werden Ruhedruckverfahren K0e oder elastische Verfahren nach Wood verwendet. Es handelt sich um eine pseudostatische Analyse: Das Erdbeben wird durch eine konstante, äquivalente Trägheitskraft ersetzt, eine für die meisten Bemessungen gültige Vereinfachung.
Angewandte Formeln
Seismischer Winkel ψ: ψ = arctan(kh / (1 − kv))
Seismischer aktiver Erddruckbeiwert (Mononobe-Okabe, vertikale Wand, horizontale Hinterfüllung, ohne Wand-Boden-Reibung):
Kae = cos²(φ − ψ) / {cos ψ · cos²(ψ + δ) · [1 + √(sin(φ + δ)·sin(φ − ψ − β) / (cos(δ + ψ + α)·cos(β − α)))]²}
wobei α = Wandneigung zur Vertikalen, β = Böschungswinkel der Hinterfüllung, δ = Wand-Boden-Reibungswinkel.
Gesamter seismischer Erddruck: Pae = 0,5 · γ · H² · (1 − kv) · Kae
Zuwachs gegenüber statischem Erddruck: ΔPae = Pae − Pa (Pa = statischer Erddruck nach Coulomb)
Angriffspunkt: Pa wirkt bei H/3; ΔPae bei 0,6·H über der Basis (wirkt weiter oben, da es sich um eine dynamische Last handelt)
Seismische Koeffizienten (Vereinfachung nach DIN EN 1998-1 für Stützmauern): kh typisch = ag · S / (2 · g); kv = 0 (Standard) oder 0,5·kh
Berechnungsbeispiel
| Parameter | Wert |
|---|---|
| Mauerhöhe H | 4,0 m |
| Wichte γ | 19 kN/m³ |
| φ | 32° |
| δ (Wand-Boden-Reibung) | φ/2 = 16° |
| α (Wandneigung) | 0° |
| β (Böschungswinkel Hinterfüllung) | 0° |
| ag (Zone 3) | 0,40·g |
| Bodenbeiwert S (Bodenklasse D) | 1,2 |
| kh angenommen | 0,40·1,2 / 2 = 0,24 |
| kv | 0 |
Seismischer Winkel ψ = arctan(0,24 / (1 − 0)) = arctan 0,24 = 13,5°. Einsetzen in die Mononobe-Okabe-Formel mit φ = 32°, ψ = 13,5°, δ = 16°, α = β = 0°: Der Term innerhalb der Wurzel ist sin(48°)·sin(18,5°) / (cos(29,5°)·cos(0)) = 0,743·0,317 / 0,870 = 0,271. Wurzel = 0,521. Nenner = 1·cos²(29,5°)·[1 + 0,521]² = 0,758·2,313 = 1,754. Zähler = cos²(18,5°) = 0,899. Kae = 0,899 / 1,754 = 0,512. Seismischer Erddruck Pae = 0,5·19·16·1·0,512 = 77,8 kN/m. Statischer Erddruck nach Coulomb (mit ähnlicher Formel, ψ = 0, δ = 16°): Ka ≈ 0,275, Pa = 0,5·19·16·0,275 = 41,8 kN/m. ΔPae = 77,8 − 41,8 = 36,0 kN/m, wirkend bei 0,6·4 = 2,4 m über der Basis.
Ergebnis: Kae = 0,512 · Pae = 77,8 kN/m · ΔPae = 36,0 kN/m (bei 0,6·H über der Basis).
Interpretation der Ergebnisse
Das Erdbeben verdoppelt in diesem Szenario nahezu den horizontalen Erddruck auf die Mauer. Die endgültige Bemessung muss Kippen, Gleiten und die Grundbruchsicherheit unter Berücksichtigung der vollständigen Kombination (Eigengewicht + seismischer Erddruck + Trägheitskraft der Mauer) überprüfen. DIN EN 1997-1 (Eurocode 7) + DIN 1054 erlaubt Sicherheitsbeiwerte von 1,2 für Kippen und 1,1 für Gleiten in der seismischen Kombination (gegenüber 1,5 statisch). In Gebieten mit hoher Seismizität ist das Erdbeben oft maßgebend gegenüber dem statischen Fall.
Referenznormen
- DIN EN 1998-1:2010-12 — Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben — Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten
- DIN 1054:2021-04 — Baugrund — Sicherheitsnachweise im Erd- und Grundbau — Ergänzende Regelungen zu DIN EN 1997-1
- DIN EN 1997-1:2014-03 — Eurocode 7: Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik — Teil 1: Allgemeine Regeln
- DIN EN 1998-5:2010-12 — Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben — Teil 5: Gründungen, Stützbauwerke und geotechnische Aspekte
- Mononobe, N. und Matsuo, H. (1929). Über die Bestimmung von Erddrücken während Erdbeben
- Okabe, S. (1926). Allgemeine Theorie des Erddrucks
Häufig gestellte Fragen
Welchen kh-Wert verwende ich gemäß der nationalen Norm?
DIN EN 1998-1 schlägt kh = ag·S/(2·g) als Vereinfachung für Stützmauern mit zulässiger Verschiebung vor. Bei kritischen Projekten oder eingespannten Wänden ist eine spezifische Untersuchung oder kh gleich ag·S·g erforderlich. Die DIN 1054 legt die Bemessungssituationen und Teilsicherheitsbeiwerte fest.
Funktioniert Mononobe-Okabe immer?
Es hat Einschränkungen: Die Lösung existiert nicht mehr, wenn φ − β − ψ < 0 (extreme Kombinationen von Böschung, Reibung und Beschleunigung). In diesen Fällen wird die Methode von Seed-Whitman mit einer vereinfachten Zusatzlast (ΔPae = 0,375·γ·H²·kh) verwendet oder eine nichtlineare dynamische Analyse durchgeführt.
Warum wirkt ΔPae bei 0,6·H und nicht bei H/3?
Experimentelle Beobachtungen und dynamische Analysen zeigen, dass die seismische Komponente des Erddrucks weiter oben wirkt als die statische. Seed und Whitman empfahlen 0,6·H für den dynamischen Zuwachs. DIN EN 1998-5 akzeptiert unterschiedliche Angriffspunkte (0,5·H bis 0,6·H).
Muss ich kv berücksichtigen?
In der üblichen Praxis wird kv vernachlässigt (kv = 0), da es selten maßgebend ist. Wenn es einbezogen wird, nimmt man kv = 0,5·kh und analysiert beide Vorzeichen (+ und −), da das Erdbeben die scheinbare Schwerkraft erhöhen oder verringern kann. Bei Stützmauern in Schluchten oder kritischen Bauwerken ist die Berücksichtigung empfehlenswert.