Erddruckberechnung — Theorie nach Rankine
Die Theorie nach Rankine (1857) ist die klassische Formulierung zur Berechnung des Erddrucks, den ein Boden auf Stützkonstruktionen ausübt. Dieser Rechner liefert die aktiven (Ka) und passiven (Kp) Erddruckbeiwerte, den Gesamterddruck und das Moment an der Mauerbasis unter Berücksichtigung der Hinterfüllungshöhe, der Geländeoberflächenneigung (β), der Kohäsion (c) und des Grundwasserspiegels. Sie ist der Ausgangspunkt jeder Stützmauerbemessung im Hochbau, Straßenbau und Tiefbau.
Was ist das und wann wird es angewendet?
Rankine nimmt an, dass die Mauer vertikal ist, die Hinterfüllung eine ebene Oberfläche mit der Neigung β zur Horizontalen aufweist, keine Reibung zwischen Mauer und Boden herrscht und der Bruchzustand durch Plastifizierung des Bodens erreicht wird. Unter diesen Annahmen liefert es Ka (aktiver Erddruck, wenn die Mauer nachgibt) und Kp (passiver Erddruck, wenn die Mauer gegen den Boden drückt). Es wird angewendet bei Schwergewichtsmauern, Kragstützmauern mit lockerer Hinterfüllung, Brückenwiderlagern mit gleichmäßiger Hinterfüllung und Kelleraußenwänden mit horizontaler Hinterfüllung. Bei von der Vertikalen abweichender Mauerneigung oder erheblicher Mauer-Boden-Reibung wird Coulomb verwendet.
Angewandte Formeln
Aktiver Erddruck (horizontale Hinterfüllung, ohne Kohäsion):
Ka = tan²(45° − φ/2) = (1 − sin φ) / (1 + sin φ)
Passiver Erddruck: Kp = tan²(45° + φ/2) = 1/Ka
Rankine mit Böschungsneigung β in der Hinterfüllung:
Ka = cos β · (cos β − √(cos²β − cos²φ)) / (cos β + √(cos²β − cos²φ))
Gesamter Erddruck (trockene Hinterfüllung, Höhe H):
Pa = 0,5 · γ · H² · Ka; Pp = 0,5 · γ · H² · Kp
Mit Kohäsion: aktive Erddruckspannung σa = γ·z·Ka − 2·c·√Ka (Zugriss bis zc = 2c / (γ·√Ka))
Mit Grundwasser in Tiefe d: unterhalb d, γ durch γ' = γsat − γw ersetzen und hydrostatischen Druck u = γw · (z − d) hinzufügen
Berechnungsbeispiel
| Parameter | Wert |
|---|---|
| Mauerhöhe H | 4,0 m |
| Wichte γ | 19 kN/m³ |
| Reibungswinkel φ | 32° |
| Kohäsion c | 0 |
| Geländeoberflächenneigung β | 0° (horizontal) |
| Grundwasserspiegel | Nicht festgestellt |
| Gleichlast q auf der Mauerkrone | 10 kPa (Fußgängerverkehr) |
Mit φ = 32°: Ka = (1 − sin 32°) / (1 + sin 32°) = (1 − 0,530) / (1 + 0,530) = 0,470 / 1,530 = 0,307. Kp = 1/0,307 = 3,26. Erddruck aus Eigengewicht der Hinterfüllung: Pa1 = 0,5 · 19 · 4² · 0,307 = 0,5 · 19 · 16 · 0,307 = 46,7 kN/m. Erddruck aus Gleichlast (entspricht einer gleichmäßigen Spannungserhöhung σ = q·Ka über die Höhe): Pa2 = q · Ka · H = 10 · 0,307 · 4 = 12,3 kN/m. Gesamter Erddruck Pa = 46,7 + 12,3 = 59,0 kN/m. Angriffspunkt: Pa1 wirkt bei H/3 = 1,33 m ab Basis; Pa2 wirkt bei H/2 = 2,0 m. Moment an der Basis M = 46,7 · 1,33 + 12,3 · 2,0 = 62,1 + 24,6 = 86,7 kN·m/m.
Ergebnis: Ka = 0,307 · Kp = 3,26 · Pa = 59,0 kN/m · M = 86,7 kN·m/m.
Interpretation der Ergebnisse
Die Mauer muss so bemessen werden, dass sie Pa = 59 kN/m in horizontaler Richtung und M = 87 kN·m/m als Kippmoment widersteht, zusätzlich zur Überprüfung auf Gleiten und Grundbruch. Der passive Erddruck Kp stellt eine Reserve für den Gleitwiderstand dar, wird aber in der Regel auf 1/2 oder 1/3 seines theoretischen Wertes begrenzt, da für seine vollständige Mobilisierung große Verschiebungen erforderlich sind. In Erdbebengebieten (DIN EN 1998-5) wird die Komponente nach Mononobe-Okabe hinzugefügt.
Referenznormen
- DIN EN 1997-1 (Eurocode 7) + DIN 1054 — Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik
- Rankine, W.J.M. (1857). On the stability of loose earth
- DIN EN 1997-1 (Eurocode 7) — Geotechnische Bemessung
- DIN EN 1997-1 (Eurocode 7) + DIN 1054 — Geotechnische Bemessung — Abschnitt 11 Stützmauern und Widerlager
- DIN EN 1998-5 — Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben — Teil 5: Gründungen, Stützbauwerke und geotechnische Aspekte (für Erdbebenerddruck)
Häufig gestellte Fragen
Wann verwende ich Rankine und wann Coulomb?
Rankine: vertikale Mauer, geneigte Hinterfüllung β, keine Mauer-Boden-Reibung. Coulomb: geneigte Mauer, Mauer-Boden-Reibung δ ≠ 0, allgemeiner. In der Praxis ist Coulomb realistischer, da die Mauer-Boden-Reibung den aktiven Erddruck um 5-15 % reduziert. Rankine ist konservativ.
Kann ich Kohäsion beim aktiven Erddruck verwenden?
Ja, aber bis zu einer Tiefe zc ist der Erddruck theoretisch negativ (Zug). In der Praxis wird dieser Abschnitt vernachlässigt, da der Boden durch Austrocknung oder jahreszeitliche Einflüsse reißt. Es wird empfohlen, den Erddruck so zu berechnen, als ob nur γ·z·Ka von der Oberfläche aus wirkt, und die Entlastung durch Kohäsion zu ignorieren.
Was passiert mit einer Gleichlast auf der Mauerkrone?
Eine Gleichlast q wird als konstante Erhöhung der Vertikalspannung behandelt. Ihr Beitrag zum Erddruck beträgt q·Ka·H (linear über die Höhe) und wirkt bei H/2 ab der Basis. Handelt es sich um eine Streifen- oder Einzellast, wird die Analyse mit Boussinesq durchgeführt.
Wann werden Ka und Kp vollständig mobilisiert?
Ka erfordert sehr kleine relative Verschiebungen in der Größenordnung von 0,001·H. Kp benötigt viel größere Verschiebungen (0,01-0,05·H) und wird daher bei der Mauerbemessung mit einem Reduktionsfaktor von 0,3-0,5 verwendet. Bei starren Bauwerken (oben eingespannte Kelleraußenwände) wird mit dem Erdruhedruckbeiwert K0 bemessen, der zwischen Ka und Kp liegt.