Berechnung der Tragfähigkeit nach Terzaghi und Vesic
Die Grenztragfähigkeit qu und die zulässige Tragfähigkeit qadm definieren den Druck, den ein Fundament auf den Boden übertragen kann, ohne dass es zu einem Scherbruch oder übermäßigen Setzungen kommt. Dieser Rechner wendet die allgemeine Formel von Terzaghi (1943) mit Erweiterungen von Vesic (1973) und Meyerhof an, unter Berücksichtigung von Form-, Tiefen- und Lastneigungsfaktoren. Kompatibel mit den Bemessungskriterien der DIN EN 1997-1 (Eurocode 7) + DIN 1054 und der gängigen Praxis im Hochbau.
Was ist das und wann wird es angewendet?
Die Tragfähigkeit wird auf Flachgründungen (Einzelfundamente, Streifenfundamente, kombinierte Fundamente) und mit Anpassungen auf Fundamentplatten angewendet. Sie definiert die maximale Last pro Flächeneinheit vor dem allgemeinen Scherbruch des Bodens. In der Praxis wird qu durch einen Sicherheitsbeiwert (typischerweise 3,0 für ständige und 2,0 für seismische Einwirkungen nach DIN EN 1997-1 + DIN 1054) geteilt, um qadm zu erhalten. Die Berechnung ist empfindlich gegenüber c, φ, γ, Einbindetiefe, Geometrie und dem Vorhandensein eines Grundwasserspiegels.
Angewandte Formeln
Terzaghi (Streifenfundament, idealer Boden):
qu = c·Nc + q·Nq + 0,5·γ·B·Nγ
Verallgemeinerte Vesic-Formel: qu = c·Nc·sc·dc·ic + q·Nq·sq·dq·iq + 0,5·γ·B·Nγ·sγ·dγ·iγ
Tragfähigkeitsbeiwerte (Vesic):
Nq = e^(π·tan φ) · tan²(45 + φ/2)
Nc = (Nq − 1) / tan φ (oder 5,14 wenn φ = 0)
Nγ = 2 · (Nq + 1) · tan φ
Formbeiwerte (Vesic): sc = 1 + (B/L)(Nq/Nc), sq = 1 + (B/L) tan φ, sγ = 1 − 0,4 (B/L)
Tiefenbeiwerte: dq = 1 + 2 tan φ (1 − sin φ)² · (Df/B); dc = dq − (1 − dq)/(Nc tan φ); dγ = 1.
Zulässige Tragfähigkeit: qadm = (qu − γ·Df) / FS + γ·Df (zulässige Nettotragfähigkeit)
Berechnungsbeispiel
| Parameter | Wert |
|---|---|
| B × L (Breite × Länge) | 2,0 × 2,0 m |
| Einbindetiefe Df | 1,5 m |
| Kohäsion c | 10 kPa |
| Reibungswinkel φ | 30° |
| Wichte γ | 18 kN/m³ |
| Grundwasserstand | In 5 m nicht festgestellt |
| FS ständig | 3,0 |
Beiwerte für φ = 30°: Nq = e^(π·0,577) · tan²60° = 6,40 · 3,0 = 18,4; Nc = (18,4 − 1) / 0,577 = 30,1; Nγ = 2 · 19,4 · 0,577 = 22,4. Überlagerungsdruck q = γ · Df = 18 · 1,5 = 27 kPa. Formbeiwerte (B/L = 1): sc = 1 + 1·(18,4/30,1) = 1,61; sq = 1 + 1·0,577 = 1,58; sγ = 1 − 0,4 = 0,6. Tiefenbeiwerte (Df/B = 0,75): dq = 1 + 2·0,577·(1 − 0,5)² · 0,75 = 1 + 0,217 = 1,22; dc ≈ 1,23; dγ = 1. qu = 10·30,1·1,61·1,23 + 27·18,4·1,58·1,22 + 0,5·18·2·22,4·0,6·1 = 596 + 957 + 242 = 1 795 kPa. qadm = (1 795 − 27) / 3 + 27 = 616 kPa.
Ergebnis: qu = 1 795 kPa · qadm = 616 kPa (FS = 3, ständig).
Interpretation der Ergebnisse
Eine zulässige Tragfähigkeit von 616 kPa ist hoch und typisch für dichten sandigen Boden mit scheinbarer Kohäsion. Für die tatsächliche Bemessung müssen auch Setzungen überprüft werden (Schmertmann oder elastisch), da diese oft maßgebend sind. Bei Grundwasser unterhalb des Fundaments muss γ durch γ' = γsat − γw in den betroffenen Termen ersetzt werden, was qadm um 30-50 % reduzieren kann. In seismischen Gebieten erlaubt DIN EN 1997-1 + DIN 1054 FS = 2 für Kombinationen mit Erdbeben.
Referenznormen
- DIN EN 1997-1:2014-03 — Eurocode 7: Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik — Teil 1: Allgemeine Regeln + DIN 1054:2018-12 — Baugrund — Sicherheitsnachweise im Erd- und Grundbau — Ergänzende Regelungen zu DIN EN 1997-1
- DIN EN 1992-1-1:2011-01 — Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken — Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau (Kapitel 8 Gründungen)
- Terzaghi, K. (1943). Theoretical Soil Mechanics
- Vesic, A.S. (1973). Analysis of ultimate loads of shallow foundations
- Meyerhof, G.G. (1963). Some recent research on bearing capacity
- DIN EN 1998-1:2010-12 — Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben — Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten + DIN EN 1998-5:2010-12 — Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben — Teil 5: Gründungen, Stützbauwerke und geotechnische Aspekte
Häufig gestellte Fragen
Wann verwende ich Terzaghi und wann Vesic?
Das klassische Terzaghi-Verfahren ist nützlich für eine schnelle manuelle Überprüfung bei Streifenfundamenten ohne Lastneigung und Grundwasser. Vesic ist die allgemeine Formulierung und wird in der heutigen Praxis empfohlen, da es Form-, Tiefen-, Neigungs- und geneigte Sohlfaktoren berücksichtigt. DIN EN 1997-1 + DIN 1054 akzeptiert beide, sofern die Annahmen dokumentiert werden.
Welchen Sicherheitsbeiwert soll ich verwenden?
Für ständige Einwirkungen ist FS = 3,0 der traditionelle Mindestwert. DIN EN 1997-1 + DIN 1054 erlaubt FS = 2,0 für Kombinationen mit starkem Erdbeben. Bei zyklischen Lasten ohne Erdbeben (Maschinen) wird auf FS = 4,0 erhöht. LRFD-Bemessungen verwenden Widerstandsbeiwerte (0,45-0,60) anstelle eines globalen FS.
Wie wird der Grundwasserspiegel behandelt?
Befindet sich der Grundwasserspiegel über der Gründungssohle, werden alle γ der betroffenen Terme durch γ' ersetzt. Liegt er zwischen der Sohle und Df, wird nach Tiefe gewichtet. Liegt er mehr als 1·B unter der Sohle, hat er keinen signifikanten Einfluss. Es ist ein häufiger Fehler, diese Anpassung zu vergessen: Sie kann qu um 30-50 % überschätzen.
Ist die Tragfähigkeit oder die Setzung für die Bemessung maßgebend?
Bei dichten granularen Böden und Fels ist die Tragfähigkeit meist konservativ und die Setzung maßgebend. Bei weichen Tonen und kompressiblen Schluffen ist es umgekehrt. Die alleinige Bemessung nach Tragfähigkeit ohne Setzungsnachweis ist eine schlechte Praxis, die zu Gebäudeeinstürzen durch übermäßige differentielle Setzungen führen kann.